Il PLS Matematica propone per l'anno scolastico 2026-2027 attività rivolte alle scuole secondarie, articolate in iniziative a data fissa, laboratori e seminari.

Le proposte sono suddivise in base ai destinatari. Per ciascuna attività sono indicate, ove previste, durata, classi consigliate, sede o modalità di svolgimento, prerequisiti ed eventuali indicazioni organizzative.

Le richieste di seminari e laboratori  devono essere raccolte dal referente PLS-matematica della scuola tramite il seguente modulo d'iscrizione on-line  modulo iscrizione PLS_matematica

Il modulo va compilato on line, scaricato, fatto firmare dal Dirigente Scolastico e inviato via mail a pls_mate@uniud.it e ricerca.dmif@uniud.it entro fine ottobre 2026.

Alla fine delle attività il referente PLS_matematica dovrà compilare un registro con i dati (numero studenti, classi, docenti accompagnatori) delle le attività effettivamente svolte nella scuola. Il registro sarà in formato on-line e sarà reperibile qui

Attività proposte

Attività a data fissa e iniziative in Università

Per l'iscrizione a queste attività arriverà una mail sulla lista PLS_mate

• World Logic Day
• Due Giorni di Matematica Uniud
• Pi Day
• INdAM per le scuole. La matematica di oggi: nuove domande, nuove sfide

Laboratori per il biennio e il triennio

• Costruzioni con riga e compasso
• Equazioni lineari e matrici: la matematica in rete
• La matematica di Dobble
• Storia e uso dell'astrolabio
• Tolomeo astronomo e geografo
• Donne matematiche: storie da scoprire e raccontare insieme

Laboratori per il triennio

• Equazioni algebriche di terzo grado
• Equazioni non lineari: dalla bisezione ai frattali di Newton
• Geometrie non Euclidee
• Il caos matematico
• Laboratorio sull'Infinito
• Laboratorio su Turing, le sue macchine e il calcolatore universale
• L'insieme di Cantor
• Le scienze della vela
• Polinomi in azione: approssimazione di funzioni e curve
• Tre numeri difficili e una semplice formula: i numeri complessi, l'interesse composto e la lunghezza del cerchio

Seminari per il biennio

• Equazioni diofantee

Seminari per il biennio e il triennio

• ...scusi prof... ma a cosa servono le equazioni?!
• L'astronomia di Tolomeo
• La matematica della fotogrammetria
• La modernità della matematica greca: suoi concetti e sua influenza sulla matematica contemporanea
• Numeri interi, razionali, reali e paradossi di Zenone

Seminari per il triennio

• ...ma quanto vale radice di 5
• Dai modelli ai dati e ritorno sulle ali di una farfalla (o era un gabbiano?)
• Come la matematica racconta il mondo
• La matematica dell’incertezza nella finanza moderna
• Geometria della fisica e fisica della geometria
• Goniometria: variazioni sul tema
• La caratteristica di Eulero
• Le geometrie non euclidee fra matematica e fisica
• Miti e paradossi in salsa matematica: un'introduzione ai teoremi di Gödel
• Non tutti gli infiniti sono uguali
• Spazio assoluto e spazio relativo: il dibattito Leibniz-Newton e la nascita della fisica moderna
• Il problem solving: tecniche di uso generale e linee di approccio
  efficace alla soluzione di  problemi di carattere matematico

Attività a data fissa e iniziative in Università

World Logic Day

Referente: Giovanna D'Agostino
Destinatari: triennio
Durata: una mattinata, circa 4 ore
Data: da definire
Sede: Università

Contenuti da stabilire. 

Due Giorni di Matematica Uniud

Referente: Stefano Urbinati
Destinatari: ultimi anni delle scuole superiori
Durata: 2 giorni
Data: da definire
Sede: Università

Evento di orientamento con seminari di ricerca, laboratori, presentazione del corso di laurea e momenti di confronto con studenti e docenti.

Iscrizioni: le modalità d'iscrizione verranno comunicate in seguito.

Pi Day

Organizzazione: PLS Matematica, CCS di Matematica, Mathesis Udine
Destinatari: scuola secondaria di I e II grado e cittadinanza
Durata: una giornata, con più eventi
Data: da definire
Sede: Università

Giornata di divulgazione matematica con Festival della Matematica, caccia al tesoro matematica e conferenza conclusiva.

Iscrizioni: le modalità d'iscrizione verranno comunicate in seguito.

INdAM per le scuole La matematica di oggi: nuove domande, nuove sfide

Organizzazione: Rossana Vermiglio, PLS Matematica
Destinatari: studenti scuola secondaria di II grado e loro insegnanti
Durata: 2 ore
Data: da definire (un giovedì della seconda metà di maggio)
Sede: Università

INdAM – Istituto Nazionale di Alta Matematica “Francesco Severi” – è un ente di ricerca nazionale dedicato alla promozione e allo sviluppo della ricerca matematica e alla formazione dei giovani ricercatori.

La Giornata INdAM è un’iniziativa annuale volta a presentare le attività dell’Istituto e a favorire l’incontro e il confronto all’interno della comunità matematica, con particolare attenzione alle nuove generazioni di ricercatori. La giornata rappresenta inoltre un’occasione per valorizzare la ricerca matematica e promuoverne la diffusione anche presso un pubblico più ampio.

Per l’edizione 2027 Udine è stata scelta come sede della Giornata INdAM. In questa occasione, il Comitato Scientifico propone, per la prima volta, anche un’iniziativa specificatamente rivolta agli studenti delle scuole superiori e ai loro insegnanti. L’incontro sarà un’occasione per scoprire alcune delle nuove sfide della ricerca matematica, confrontarsi con chi fa matematica oggi e riflettere su nuovi modi di raccontarla e insegnarla. Un momento di dialogo tra studenti, insegnanti e matematici, pensato per avvicinare il mondo della scuola a quello della ricerca e mostrare una matematica viva, in continua evoluzione e aperta a nuove domande.

L'incontro si terrà un giovedì mattina nella seconda metà di maggio (date da precisare) nei locali dell’Università.

Iscrizioni: le modalità d'iscrizione verranno comunicate in seguito.

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Laboratori per il biennio e il triennio

Costruzioni con riga e compasso

Docente: Giovanna D'Agostino
Destinatari: biennio e triennio – classi 2ª-3ª
Durata: 6 ore
Sede: a scuola
Prerequisiti: geometria piana euclidea

Laboratorio di geometria costruttiva con riga e compasso, supportato da GeoGebra, con introduzione storica alle costruzioni possibili e impossibili e ai rapporti tra algebra e geometria.

Equazioni lineari e matrici: la matematica in rete

Docente: Dimitri Breda
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 8 ore
Sede: a scuola

Partendo da semplici equazioni lineari, sono sviluppati gli aspetti sia algebrici che geometrici riguardanti la risoluzione dei sistemi lineari, gettando prima le basi del calcolo vettoriale e matriciale ed investigandone poi le implicazioni nel campo delle trasformazioni lineari nel piano. Fatti propri tali strumenti, si esplora la struttura matematica dell’algoritmo Pagerank di Google. Si analizzano e sperimentano infine quegli strumenti propri dell’analisi numerica che ne permettono l’implementazione efficiente, in particolare il metodo delle potenze per il calcolo dell’autovalore dominante.

Come strumento informatico di supporto si utilizza il software Matlab attraverso il quale si produce un codice completo per il calcolo del Pagerank. Il codice è testato sia su esempi di web accademici che reali. L’attività è preceduta da un seminario introduttivo (“Scusi prof…ma a cosa servono le equazioni?!”)

La matematica di Dobble

Docente: Stefano Urbinati
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 6 ore
Sede: a scuola

Dobble è un popolare gioco di società che appassiona grandi e piccoli. Ci sono moltissime varianti di gioco ed è possibile giocare anche in due. La peculiarità di questo gioco è quella di essere composta da 55 carte, ognuna raffigurante una serie di simboli o disegni, in modo che ogni coppia di carte abbia sempre un simbolo in comune (e unico). Questa proprietà sarà la scusa per introdurre gli studenti ad un primo concetto veramente astratto, lo spazio proiettivo su un campo finito.

In un primo seminario si introdurrà il gioco e come primo strumento si parlerà di aritmetica finita, introducendo la matematica dell’orologio in maniera molto elementare. In un secondo seminario verrà introdotto il concetto di spazio proiettivo, cercando di focalizzarsi solamente sul caso di dimensione 2 e facendo lavorare gli studenti con delle proiezioni sulla calotta sferica.

Nell’ultimo incontro si unificheranno i concetti, andando a costruire prima un piano cartesiano su di un campo finito, giocando quindi con le equazioni delle rette che diventeranno molto strane, e poi utilizzare questa nuova costruzione per ricostruire il nostro piano proiettivo su un campo finito, partendo dall’esempio del piano di Fano. A questo punto si spiegherà la connessione con il gioco e come le carte vengano determinate seguendo questo filo logico.

Storia e uso dell'astrolabio

Docente: Paolo Bussotti
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 4 ore
Sede: a scuola
Numero di partecipanti: 1-2 classi

Si tratta di un incontro-laboratorio di quattro ore da svolgere con una o due classi di studenti delle superiori. L’attività sarà divisa in due parti: nelle prime due ore verranno forniti gli elementi-base dell’astronomia di posizione necessari a comprendere come funziona e come si costruisce un astrolabio. Verranno date anche informazioni storiche riguardo all’uso dello strumento. La seconda parte sarà laboratoriale. Con materiale messo  a disposizione, gli alunni, divisi in gruppi, costruiranno un astrolabio per ciascun gruppo e svolgeranno alcune operazioni con lo strumento.

Materiali: i materiali per l'attività sono forniti dal docente.

Tolomeo astronomo e geografo

Docenti: Paolo Bussotti, Gianluca Gorni
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 8 ore
Sede:  a scuola,  per le scuole che hanno sede ad Udine; in Università, per le scuole che non hanno sede ad Udine.

La geografia di Tolomeo: Il seminario del Prof. Gorni inizia con una breve storia della geografia antica, per concentrarsi poi sull’opera geografica di Tolomeo. Viene in particolare spiegata in dettaglio la sorprendente e controversa tesi del Prof. Lucio Russo, secondo cui nell’opera di Tolomeo si nasconde la prova matematica che gli Antichi conoscevano l’America.

L’astronomia di Tolomeo: Il Prof. Bussotti tiene un seminario su fondamenti dell’astronomia tolemaica, coi seguenti argomenti: i moti apparenti della volta celeste e le loro periodicità (sole, stelle fisse, pianeti); l’anomalia in velocità e il moto retrogrado; le teorie di Apollonio, Ipparco e Tolomeo, il problema del geocentrismo e il passaggio all’eliocentrismo in epoca moderna.

L’astrolabio: Il Prof. Bussotti tiene una conferenza sulla storia e la struttura dell’astrolabio, seguita da un laboratorio pratico: la costruzione di astrolabi in cartone e plastica con materiale fornito dal docente. Se il meteo è favorevole si può fare una misura pratica di latitudine usando l’ombra di un bastone, oppure un’esercitazione di uso di un astrolabio vero.

Proposte di ulteriori laboratori fra cui scegliere: In collaborazione con un docente di latino o greco si possono incaricare gli studenti di individuare le località moderne corrispondenti a luoghi elencati da Tolomeo, sfruttando anche la ricerca su internet e strumenti come GoogleEarth, confrontando poi le coordinate. Usando strumenti informatici (un foglio elettronico può bastare) si possono trovare e visualizzare le rette di regressione per il confronto fra le coordinate di Tolomeo e quelle moderne (i dati grezzi saranno forniti a richiesta dal Prof. Gorni). Usando strumenti online si possono cercare i parametri che sovrappongono le località di Tolomeo su quelle moderne.

Bibliografia: Lucio Russo, L’America Dimenticata, Mondadori Università (2013).

Donne matematiche: storie da scoprire e raccontare insieme

Docente: Rossana Vermiglio
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 1 ora di seminario introduttivo, seguita da attività di gruppo guidate dagli insegnanti
Sede: attività presso la scuola e incontro conclusivo presso l’Università

Il laboratorio propone un percorso alla scoperta del contributo delle donne alla matematica. Un breve seminario introduttivo offrirà agli studenti alcuni spunti per conoscere figure significative di matematiche di epoche diverse e per riflettere sul contesto storico e culturale nel quale hanno vissuto e lavorato. Gli studenti lavoreranno successivamente in piccoli gruppi guidati dagli insegnanti, ciascuno dei quali approfondirà la figura di una matematica, ricostruendone la biografia, il contributo scientifico e le connessioni con altri aspetti della storia, della cultura, della letteratura e della società del suo tempo. Qualora alcuni temi matematici richiedessero un approfondimento specifico, potranno essere organizzati brevi incontri ad hoc per fornire agli studenti gli strumenti necessari a comprenderli e presentarli.  Ogni gruppo sarà libero di scegliere in autonomia le modalità più adatte per raccontare il proprio percorso — presentazioni, video, poster, fumetti o altre forme di comunicazione — cercando di coniugare correttezza dei contenuti, creatività e capacità divulgativa.   I lavori realizzati confluiranno in una presentazione pubblica presso l’Ateneo il 12 maggio 2027, in occasione della Celebrating Women in Mathematics Day, offrendo agli studenti l’opportunità di condividere e raccontare il risultato del proprio lavoro. La giornata conclusiva si avvarrà, se possibile, della consulenza di un’esperta di teatro.                  

Il laboratorio intende avvicinare gli studenti alla matematica attraverso le persone e le storie che hanno contribuito al suo sviluppo, mettendo in luce le relazioni tra matematica, storia e letteratura stimolando al tempo stesso capacità di ricerca, lavoro di gruppo e comunicazione.

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Laboratori per il triennio

Equazioni algebriche di terzo grado

Docente: Raffaele Di Santo
Destinatari: triennio
Durata: 6 ore
Sede: a scuola

La ricerca delle soluzioni di un’equazione polinomiale ha coinvolto i matematici sin dai tempi più antichi. Già gli antichi babilonesi si erano dedicati, ad esempio, alla ricerca delle soluzioni di un’equazione di secondo grado. Ma solo agli inizi del 1500 i matematici N. Tartaglia, G. Cardano e S. Del Ferro fornirono tecniche per la risoluzione di equazioni algebriche di terzo grado. In seguito L. Ferrari dette un procedimento risolutivo per quelle di quarto grado.

In questo laboratorio si cercherà di coinvolgere gli studenti nello scoprire, a piccoli passi e in maniera più autonoma possibile, come, a partire da un’equazione di terzo grado in forma generale, si possa passare ad un’equazione di terzo grado in forma particolare e come, per questa, si possa determinare una soluzione. In seguito si mostrerà sinteticamente il metodo proposto da L. Ferrari per determinare una soluzione di un’equazione di quarto grado.

La storia di come si giunse alla soluzione di queste equazioni è, quindi, di grande interesse. Sono, infatti, coinvolti complessi problemi concettuali che i matematici italiani del XVI secolo risolsero per la prima volta, ma rientrano nel contesto anche intricate ed affascinanti vicende umane ed interpersonali tra i protagonisti. Nel seminario si cercherà, pertanto di offrire un quadro completo facendo precedere all’attività laboratoriale la descrizione del quadro storico.

Equazioni non lineari: dalla bisezione ai frattali di Newton

Docente: Dimitri Breda
Destinatari: triennio
Durata: 8 ore
Sede: da concordare

L’argomento protagonista è la ricerca degli zeri di una funzione reale di variabile reale. Analizzeremo i metodi computazionali principali per l’approssimazione degli zeri, ovvero il metodo di bisezione ed il metodo di Newton. Una volta “digeriti” gli aspetti principali restringeremo lo studio al caso delle radici dei polinomi algebrici, partendo dalle classiche formule risolutive esatte e arrivando all’adattamento del metodo di Newton, passando attraverso la regola di Ruffini ed il metodo di Horner. Alla fine affronteremo un aspetto particolarmente delicato quale la scelta del valore iniziale per generare le approssimazioni. Lo studio di questo problema porterà in modo naturale ai cosiddetti frattali di Newton.

Il laboratorio è preceduto dalla conferenza ‘…ma quanto vale radice di 5?’ tenuta, presso gli Istituti aderenti e allo scopo di introdurre gli alunni alle tematiche trattate, dal docente universitario di riferimento. Esso continua poi con una fase preliminare di preparazione dei requisiti, condotta dagli insegnanti coinvolti presso i relativi Istituti. Si giunge quindi allo stage degli alunni presso i laboratori del Dipartimento di Scienze Matematiche, Informatiche e Fisiche, dove vengono impartite le nozioni base di Matlab e si procede all’implementazione dei codici e all’ottenimento dei frattali. Possono poi seguire opportune fasi di approfondimento e verifica.

Con un po’ di pazienza, e guidati dal motore principe della ricerca e delle innovazioni scientifiche e, in genere, culturali – la curiosità – alla fine di quest’esperienza si avrà una visione più ampia del problema di determinare le soluzioni di equazioni e la scomposizione di polinomi. Certo non pretenderemo di coglierne a pieno tutte le proprietà, ma per questo c’è sempre l’opportunità di iscriversi al Corso di Laurea in matematica!

Geometrie non Euclidee

Docente: Sebastiano Sonego
Destinatari: triennio
Durata: 8 ore
Sede: a scuola

Nel laboratorio esploreremo l’evolversi nel tempo dell’idea di geometria e come questa venga radicalmente rinnovata ad un certo punto della sua storia, quando, non prima di aver superato molte resistenze, una visione “ingenua” viene soppiantata da una più consapevole. Il laboratorio è introdotto e concluso da una serie di seminari in cui docenti universitari presentano la storia delle geometrie non euclidee e i loro rapporti con il mondo fisico. Nel laboratorio vero e proprio utilizzeremo il software di geometria dinamica GeoGebra per esplorare il piano di Poincaré, una realizzazione concreta di geometria non euclidea: incontreremo rette che si avvicinano sempre più senza mai incontrarsi, triangoli in cui la somma degli angoli interni non fa 180 gradi ed altri esempi dello strano (ma reale) mondo non euclideo.

Indicazioni organizzative: è necessario un laboratorio attrezzato con GeoGebra.

Il caos matematico

Docenti: Alessia Andò, Dimitri Breda, Guglielmo Feltrin, Davide Liessi
Destinatari: principalmente classi quinte; alcuni moduli sono accessibili anche a classi precedenti
Durata: da 2 a 16 ore, a seconda dei moduli scelti
Sede: da concordare
Numero massimo di studenti: 25

Modulo A – Introduzione a caos, mappa logistica e frattali

Tipologia: seminario
Docente: Guglielmo Feltrin
Durata: 2 ore
Prerequisiti: conoscenza di base del piano cartesiano, del concetto di funzione e della rappresentazione grafica di una funzione

Il seminario avvicina al mondo dei sistemi dinamici e del caos, partendo da esempi concreti come il pendolo e il pendolo doppio fino alla mappa logistica. Dopo un breve excursus storico, analizzeremo biforcazioni, attrattori e autosimilarità, scoprendo che anche i sistemi più semplici possono dare origine a fenomeni complessi e sorprendenti. 

Modulo B – La farfalla di Lorenz

Tipologia: laboratorio
Docenti: Dimitri Breda, Alessia Andò
Durata: 2 ore
Prerequisiti: modulo A; derivate; applicazioni lineari e matrici
Software: MATLAB o GNU Octave

Modulo C – Dinamiche simboliche: il codice segreto del caos

Tipologia: seminario
Docente: Guglielmo Feltrin
Durata: 2 ore
Prerequisiti: modulo A; concetto di successione

Il modulo esplora il mondo delle dinamiche simboliche, dove le traiettorie caotiche diventano parole. Attraverso esempi visivi e modelli come il ferro di cavallo di Smale e la mappa logistica, vedremo come la complessità del continuo possa essere letta e compresa in forma simbolica. Scopriremo come il disordine apparente nasconda una struttura leggibile, una grammatica del caos che rivela un ordine profondo. 

Modulo D – Laboratorio numerico sui frattali

Tipologia: laboratorio
Docente: Davide Liessi
Durata: 3 ore
Prerequisiti: modulo A; numeri complessi
Software: MATLAB o GNU Octave

Partendo dall’approccio pratico del “gioco dei pixel”, il modulo illustra come semplici iterazioni nel piano complesso generino gli spettacolari insiemi di Julia e Mandelbrot, che costruiremo implementando i relativi algoritmi in MATLAB/Octave. 

Modulo E – Mappe e biforcazioni

Tipologia: laboratorio
Docenti: Dimitri Breda, Alessia Andò
Durata: 2 ore
Prerequisiti: modulo A; continuità; limiti; grafici; trasformazioni e cambi di coordinate; derivate; preferibilmente anche modulo B
Software: MATLAB o GNU Octave

Il modulo introduce allo studio qualitativo del caos deterministico in sistemi dinamici a tempo discreto, attraverso mappe continue su intervalli dei reali. Mediante un semplice strumento di simulazione andremo alla scoperta di punti fissi e periodici, indagando la loro relazione e successione. Scopriremo i concetti di stabilità e biforcazione, sperimentandoli a livello sia qualitativo che quantitativo, giungendo così ad accennare ad aspetti profondi come l'universalità. 

Modulo F – Periodo tre implica caos

Tipologia: seminario
Docenti: Dimitri Breda, Alessia Andò
Durata: 2 ore
Prerequisiti: modulo A; modulo B; continuità; successioni; limiti; concetto di dimostrazione; preferibilmente anche modulo E

Il modulo offre una vera e propria esperienza di dimostrazione rigorosa, nello specifico un risultato di Li e Yorke (1975) fondamentale nella teoria del caos deterministico. Useremo tecniche essenziali come la dimostrazione per induzione e la dimostrazione per assurdo, ricorrendo esclusivamente a strumenti teorici di base come la continuità e semplici considerazioni insiemistiche. Accenneremo al sorprendente risultato di Sharkovskii (1964) che mette ordine tra i possibili punti periodici di una mappa continua a tempo discreto. 

Modulo G – Il circuito di Chua: un esempio concreto di caos

Tipologia: laboratorio
Docenti: Davide Liessi, Guglielmo Feltrin
Durata: 3 ore
Prerequisiti: modulo A; modulo E; equazioni differenziali; principali elementi circuitali e relative equazioni; circuiti elettrici e leggi di Kirchhoff

Il modulo è dedicato al circuito nonlineare di Chua, il più semplice circuito elettronico con un comportamento caotico. Nella prima parte, dopo alcuni cenni storici, introdurremo e analizzeremo il circuito di Chua ideale e alcune sue successive approssimazioni fino ad arrivare a una versione concreta e realizzabile con componenti elettronici di uso comune. Nella seconda parte gli studenti, divisi in gruppi, costruiranno il circuito e ne investigheranno le proprietà tramite l’oscilloscopio. 

Materiali: i componenti elettronici sono forniti dai docenti. Sono necessari oscilloscopi, indicativamente uno ogni 3-5 studenti. Se non disponibili, il modulo può essere svolto presso il DMIF ai Rizzi.

Laboratorio sull'Infinito

Docente: Vincenzo Dimonte
Destinatari: triennio
Durata: 4 ore
Sede: a scuola

Gli insiemi con infiniti elementi si possono confrontare stabilendo se uno è più grande dell’altro, come nel caso degli insiemi finiti? Possiamo trattare l’infinito o gli infiniti come fossero dei numeri e sommarli o moltiplicarli fra di loro? I paradossi dell’infinito implicano davvero contraddizioni? Queste domande hanno posto una sfida non banale ai matematici dei secoli scorsi e solo agli inizi del ‘900 hanno ottenuto una risposta soddisfacente.

In questo seminario introdurremo il concetto di infinito da un punto di vista matematico. Percorreremo velocemente la sua storia e come i matematici siano riusciti a risolvere i problemi che il concetto di infinito ha sempre portato con se.

Il laboratorio ha tre fasi: in una prima fase il prof. Vincenzo Dimonte terrà un seminario introduttivo di 2 ore sull'argomento. Nella seconda fase verrà fornito ai docenti del materiale per introdurre in aula, con tempistiche a piacere, gli argomenti introdotti nel seminario e far lavorare gli studenti su di essi. Nella terza fase il prof. Dimonte ritorna per confrontarsi con gli studenti sulle attività svolte e concludere con un breve seminario su alcuni problemi che guidano la ricerca in teoria degli insiemi nel XXI secolo.

Laboratorio su Turing, le sue macchine e il calcolatore universale

Docenti: Giovanna D'Agostino, Claudio Mirolo
Destinatari: triennio
Durata: 4 ore
Sede: Università

"L'informatica è il proseguimento della logica con altri mezzi" (G.Gottlob) Questa parafrasi della frase su guerra e politica  del generale prussiano von Clausewitz è ben esemplificata dalla nascita dei moderni computer. Intorno agli   anni trenta del novecento matematici, logici e filosofi si interrogavano sulla nozione di dimostrazione e di algoritmo ed il lavoro di uno di loro, Alan Turing, e' alla base dell' esistenza dei computer come li conosciamo oggi. 

In questo laboratorio  racconteremo la storia di Turing e della sua "macchina di Turing universale". Dopo un breve intervallo,  i partecipanti verranno divisi in piccoli gruppi per imparare a programmare una macchina di Turing aiutandosi con un  simulatore  al computer. 

L'insieme di Cantor

Docente: Raffaele Di Santo
Destinatari: triennio
Durata: 8 ore
Sede: a scuola

Questo laboratorio propone agli studenti un’introduzione teorica iniziale dedicata all’Insieme di Cantor, proposto dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918) come un esempio di insieme con delle proprietà particolari, e un’esperienza di programmazione individuale che riguarda la rappresentazione grafica di tale insieme. Nella parte teorica si tratta il concetto di cardinalità infinita di un insieme in termini elementari e si descrivono la modalità di costruzione dell’insieme e alcune sue proprietà utilizzando la rappresentazione di un numero decimale in base 3, anche nei calcoli veri e propri.

In seguito allo studente viene richiesto di creare, in maniera più autonoma possibile, il codice che consente di ottenere una rappresentazione grafica della costruzione dell’insieme per passi.

Le scienze della vela

Docenti: Lorenzo Freddi, Francesco Boscutti, Giorgio Brajnik, Marina Cobal, Ivan Scagnetto, Francesco Trevisan
Destinatari: triennio
Durata: 15 ore
Periodo: primavera
Sede: da concordare

Indicazioni organizzative: l'uscita in barca è subordinata alle condizioni meteorologiche, alla disponibilità e alle risorse disponibili.

Polinomi in azione: approssimazione di funzioni e curve

Docente: Rossana Vermiglio
Destinatari: classi quarte e quinte
Durata: 4 ore
Sede: a Uiversita'

Il laboratorio propone un percorso dedicato all’approssimazione di funzioni e curve mediante polinomi, combinando gli aspetti matematici con la sperimentazione numerica al calcolatore. Partendo dal problema di rappresentare una funzione attraverso oggetti più semplici, gli studenti potranno osservare come la scelta dei polinomi e dei punti utilizzati per costruire l’approssimazione ne influenzi la qualità. Saranno introdotti i polinomi di Bernstein, studiandone le principali proprietà e osservando numericamente come possano essere utilizzati per approssimare una funzione. Si passerà quindi ai polinomi di Chebyshev, mettendo in evidenza il ruolo della scelta dei nodi nell’approssimazione polinomiale e sperimentandone il comportamento attraverso MATLAB e Chebfun. L’ultima parte del laboratorio sarà dedicata all’approssimazione e alla rappresentazione di curve. A partire dai polinomi di Bernstein verranno introdotte le curve di Bézier e, successivamente, le B-spline, mostrando come pochi punti di controllo permettano di costruire e modificare forme complesse. Gli studenti potranno sperimentare direttamente l’effetto dello spostamento dei punti di controllo sulla forma della curva. Una breve introduzione storica e le attività al calcolatore accompagneranno l’intero percorso, permettendo agli studenti di visualizzare, sperimentare e confrontare le diverse tecniche di approssimazione e di comprendere il legame tra formulazione matematica e rappresentazione numerica. L’obiettivo è mostrare agli studenti come la teoria alla base dell’approssimazione polinomiale e il prodotto matrice-vettore trovino applicazioni concrete nell’approssimazione di funzioni, nella rappresentazione di curve e nella grafica al calcolatore, avvicinandoli al tempo stesso alla sperimentazione numerica e all’uso consapevole degli strumenti di calcolo.

Tre numeri difficili e una semplice formula: i numeri complessi, l'interesse composto e la lunghezza del cerchio

Docente: Giovanna D'Agostino
Destinatari: triennio – classi 4ª-5ª
Durata: 6 ore
Sede: a scuola
Prerequisiti: numeri complessi

Seminario introduttivo sulla storia di π, del numero di Eulero e dell'unità immaginaria, seguito da un laboratorio sui numeri complessi. Il percorso si conclude con un seminario sulla formula di Eulero e/o sui frattali.

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Seminari per il biennio

Equazioni diofantee

Docente: Anna Giordano Bruno
Destinatari: biennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola
Prerequisiti: piano cartesiano, algoritmo di Euclide, massimo comun divisore

Dopo una breve panoramica storica sulle equazioni diofantee, impariamo a risolvere le equazioni diofantee lineari in due incognite.

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Seminari per il biennio e il triennio

...scusi prof... ma a cosa servono le equazioni?!

Docente: Dimitri Breda
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

Partendo da una domanda triviale rivisiteremo l’importanza delle equazioni lineari nella modellizzazione matematica di alcuni problemi che risultano oggi fondamentali nell’era moderna, dai problemi delle code ad internet passando attraverso la compressione di suoni e immagini. Particolare attenzione verrà posta anche ai metodi di risoluzione dei relativi sistemi lineari, passando da aspetti teorici ad elementi computazionali, nel tentativo di dare una risposta concreta ai grandi problemi posti dalle tecnologie che utilizziamo quotidianamente. Il seminario può essere adattato a studenti che abbiano anche solo una conoscenza preliminare dei sistemi di equazioni lineari.

L'astronomia di Tolomeo

Docente: Paolo Bussotti
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

L’incontro è previsto della durata di due ore. Anzitutto sarà tracciato un breve quadro dell’astronomia pretolemaica. Si passerà poi a Tolomeo. Verrà esaminata la figura di Tolomeo come scienziato universale: astronomo, geometra, geografo, astrologo. Ci si concentrerà poi sull’astronomia tolemaica esponendone i principi generali e analizzando, nello specifico, la teoria del moto apparente del Sole e il problema del moto retrogrado dei pianeti. Infine, si valuterà il ruolo di Tolomeo nella grande cultura ellenistica.

La matematica della fotogrammetria

Docente: Stefano Urbinati
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

La fotogrammetria è una tecnica che permette di ricostruire, attraverso un sufficiente numero di immagini di uno stesso oggetto da più angolazioni, la struttura tridimensionale dell’oggetto stesso. Questa tecnica è utilizzata per la topografia e l’architettura, quanto dalle moderne macchine per la tomografia computerizzata. Spesso questa tecnica è anche conosciuta come ‘ricostruzione 3D’.

Alla base di questo interessante strumento c’è la geometria proiettiva. La presentazione sarà quindi rivolta alla bellezza della geometria proiettiva e alle sue molteplici applicazioni.

La modernità della matematica greca: suoi concetti e sua influenza sulla matematica contemporanea

Docente: Paolo Bussotti
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

Quattro elementi fondamentali della matematica moderna sono il concetto di “oggetto astratto”, il pensiero assiomatico, l’uso della dimostrazione e la presenza dell’infinito. Dal punto di vista storico la nozione di oggetto astratto è molto antica: la si ritrova già presso gli egizi. Tuttavia gli altri tre concetti, così centrali nella matematica moderna, hanno tutti un’origine greca. Nell’incontro proposto si analizzerà la genesi di tutti e quattro gli elementi menzionati, focalizzandoci sul modo in cui gli assiomi della geometria greca siano alla base di alcuni nostri concetti cardinali, quali quelli di area di una superficie e di forma e sul modo in cui Archimede introdusse in modo molto moderno il concetto e l’uso dell’infinito in matematica.

Numeri interi, razionali, reali e paradossi di Zenone

Docente: Gianluca Gorni
Destinatari: biennio e triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

I paradossi di Zenone ci obbligano a chiarirci le idee su come intuire la microstruttura dello spazio e del tempo. Illustreremo tre possibili approcci: atomista, pitagorico e, fra virgolette, realista. Nel gran finale dimostreremo il Teorema di Parmenide: il moto non esiste.

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Seminari per il triennio

...ma quanto vale radice di 5 ?

Docente: Dimitri Breda
Destinatari: classi quinte
Durata: 2 ore
Sede: a scuola
Prerequisiti: funzioni, limiti e derivate

Con il pretesto di rispondere alla domanda posta nel titolo, in questo seminario intraprenderemo un percorso analitico-computazionale che dal metodo di bisezione ci porterà ad accennare ai cosiddetti frattali di Newton. Il tutto accompagnato dalla discussione di diverse connessioni con elementi di geometria e algebra, arricchita con aspetti storici che ci accompagneranno dalla sezione aurea ai conigli di Fibonacci passando per Egizi e Babilonesi. Il seminario è rivolto a studenti della classi quinte che abbiano già affrontato concetti standard di analisi matematica quali funzioni, limiti e derivate.

Dai modelli ai dati e ritorno sulle ali di una farfalla (o era un gabbiano?)

Docente: Dimitri Breda
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola
Prerequisiti: funzioni, limiti e derivate

In questo seminario ripercorreremo le principali tappe di un affascinante viaggio scientifico intrapreso da Edward Lorenz nel secolo scorso. Un viaggio che, guidato dalle applicazioni e dall’avvento dei primi calcolatori elettronici, e grazie ad una solida preparazione matematica del viaggiatore, ha portato alla nascita di quello che oggi chiamiamo "caos deterministico", con una profonda rivisitazione delle certezze del determinismo. Il seminario è rivolto a studenti che abbiano già affrontato concetti standard di analisi matematica quali funzioni, limiti e derivate.

Come la matematica racconta il mondo

Docente: Rossana Vermiglio
Destinatari: classi quarte e quinte
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

Come possiamo descrivere la crescita di una popolazione? Cosa accade quando due popolazioni interagiscono fra loro? Possiamo prevedere la diffusione di un’epidemia? Come la matematica può descrivere il moto di un corpo? Partendo da una breve introduzione storica, il seminario accompagnerà gli studenti nel percorso che porta dall’osservazione di un fenomeno alla costruzione di un modello matematico. Attraverso esempi tratti dalla fisica, dalla biologia e dall’epidemiologia, vedremo come le equazioni alle differenze e, nelle classi in cui gli studenti hanno già familiarità con il concetto di derivata, le equazioni differenziali permettano di descrivere l’evoluzione nel tempo di fenomeni anche molto diversi. Nei casi più complessi useremo le simulazioni al calcolatore. Il percorso offrirà anche l’occasione per riflettere sul metodo scientifico: osservare, formulare ipotesi, costruire un modello e confrontarne le previsioni con la realtà..

Finanza moderna e matematica

Docente: Andrea Molent
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

La finanza moderna offre un contesto concreto e stimolante per mostrare come la matematica permetta di affrontare problemi reali caratterizzati dall’incertezza. Partendo dai concetti fondamentali della probabilità, verrà approfondita in particolare l’interpretazione soggettiva, secondo cui la probabilità esprime il grado di fiducia attribuito al verificarsi di un evento sulla base delle informazioni disponibili. Sarà inoltre messo in evidenza il ruolo della coerenza nelle valutazioni e nelle decisioni. Verranno quindi introdotti alcuni strumenti matematici fondamentali, come variabili aleatorie, valore atteso, varianza e correlazione, utilizzati per descrivere quantitativamente rendimento e rischio e per comprendere il ruolo della diversificazione nella scelta di portafoglio. Infine, saranno presentate le simulazioni Monte Carlo e alcune loro applicazioni alla valutazione di strumenti finanziari e alla misurazione del rischio. L’obiettivo è mostrare come la matematica non consenta di eliminare l’incertezza, ma fornisca strumenti per rappresentarla, quantificarla e prendere decisioni razionali e coerenti in ambito finanziario.

Geometria della fisica e fisica della geometria

Docente: Sebastiano Sonego
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

Una delle conseguenze più notevoli della teoria della relatività generale è il ruolo dinamico che essa conferisce alla geometria, che diviene pertanto un’entità fisica a pieno diritto. In questo seminario discuterò il percorso concettuale che conduce a questa affascinante visione del mondo, in cui la geometria influenza il comportamento della materia ed è, a sua volta, da questa influenzata. Presenterò inoltre le nostre conoscenze attuali sulla geometria dello spazio a diverse scale di distanza, e alcune speculazioni su scenari alternativi a quello comunemente accettato.

Goniometria: variazioni sul tema

Docente: Carlo Càssola
Destinatari: classi quarte e quinte 
Durata: 2 ore
Sede:  Università

Partendo dalla definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza, il seminario esplora cosa cambia modificandone la forma: emergono diverse nozioni di radiante, funzioni goniometriche generalizzate e persino valori diversi di π. Il nuovo punto di vista conduce alla trigonometria generalizzata e mette in luce collegamenti tra diversi ambiti della matematica. Il seminario sarà strutturato in modalità partecipativa, combinando momenti di presentazione e discussione con esercizi e altre  attività

La caratteristica di Eulero

Docente: Pietro Corvaja
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: Università

Per qualsiasi poliedro solido, per esempio per i solidi  regolari, detti anche solidi platonici (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro), vale una semplice regola: detto V il numero dei vertici, L il numero dei lati (o spigoli) e F il numero delle facce, V-L+F=2. Questa semplicissima formula sembra essere sfuggita ai  matematici dell'antichità, finché fu notata da Eulero nel 1750. 

Per solidi non convessi, aventi dei "buchi", vige una formula analoga, enunciata da Poincaré, dove la somma alternata V-L+F, detta caratteristica di Eulero, tiene conto del "numero dei buchi". 

Oggigiorno il concetto di caratteristica di Eulero è ubiquo in geometria, e si presenta anche in altri rami della matematica, dalla teoria dei grafi alla teoria dei numeri. 

In questo seminario dimostriamo la formula di Eulero e presentiamo alcune generalizzazioni.

Le geometrie non euclidee fra matematica e fisica

Docente: Sebastiano Sonego
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

Per oltre duemila anni, molti matematici si sono arrovellati nel tentativo di dimostrare il quinto postulato di Euclide a partire dagli altri. Soltanto all’inizio del XIX secolo si è riconosciuto che ciò non era possibile, e che è necessario distinguere i concetti di “geometria matematica” e di “geometria fisica”. Questa scoperta è stata cruciale nel successivo sviluppo della geometria riemanniana, ed ha avuto importantissime implicazioni nella fisica moderna.

Miti e paradossi in salsa matematica: un'introduzione ai teoremi di Gödel

Docente: Giovanna D'Agostino
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

In questo seminario vedremo come il mito dell’Idra e il paradosso del mentitore, risalenti agli antichi greci, possano aiutarci a comprendere i concetti di verità e dimostrazione in matematica.

Non tutti gli infiniti sono uguali

Docente: Vincenzo Dimonte
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: a scuola

L’infinito è ovunque voltiamo la testa: nella pubblicità, nei gioielli, nei tatuaggi, sempre come sinonimo di qualcosa di enormemente ampio e irraggiungibile. È comprensibile che si pensi che sia impossibile da maneggiare. Ma la matematica ha tutti gli strumenti per farlo, e i risultati sono spesso paradossali e sorprendenti. Chi l’avrebbe mai detto, per esempio, che alcuni infiniti sono più grandi di altri infiniti? O che metà di un infinito è uguale a se stesso? Li scopriremo assieme, prendendo a piene mani sia dalla storia (per es. Galileo) che dall’attualità.

Spazio assoluto e spazio relativo: il dibattito Leibniz-Newton e la nascita della fisica moderna

Docente: Paolo Bussotti
Destinatari: triennio
Durata: 3 ore
Sede: a scuola

Nelle Definizioni, sezione iniziale del suo capolavoro Principi matematici della filosofia naturale, Newton delinea il concetto di spazio assoluto e scrive che il suo testo è stato concepito per sviluppare la fisica proprio avendo come ambiente di riferimento tale spazio. Quello che segue, però, è tutt’altro. Lo spazio assoluto non viene più menzionato nei Principi e tutta la fisica newtoniana si svolge in spazi relativi. Lo spazio assoluto fu un concetto criticato da Leibniz con argomentazioni interessanti e con elementi che, solo in parte derivano da considerazioni fisiche: gli aspetti logici e metafisici sono altrettanto importanti. Nei due secoli successivi, soprattutto grazie allo straordinario successo della fisica newtoniana, il concetto di spazio assoluto fu accettato. Alla fine del XIX secolo le cose cambiarono ed autori come Mach e Lange, giunsero a formulazioni sostanzialmente moderne del concetto di sistema di riferimento, escludendo lo spazio assoluto dai fondamenti della fisica. Nella lezione proposta, saranno analizzate le concezioni newtoniane e leibniziane di spazio, con un excursus sugli sviluppi tardo-ottocenteschi.

Il problem solving: tecniche di uso generale e linee di approccio efficace alla soluzione di problemi di carattere matematico

Docente: Giuseppe Lancia
Destinatari: triennio
Durata: 2 ore
Sede: Università

Il termine “Problem solving” indica il processo con cui si analizza un problema per trovarne la miglior soluzione possibile. Nell'ambito dei problemi di natura matematica, esistono alcune tecniche di applicabilità generale, quali ad esempio la ricorsione, il backtracking, il divide-et-impera, la programmazione dinamica. In questo seminario, ne illustreremo l'utilizzo tramite alcuni esempi, consistenti in semplici (?) problemi di carattere matematico/ricreativo. .

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